## PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1: Đáp án A** * **Giải thích:** Dựa vào bảng biến thiên, hàm số gián đoạn tại $x = -2$. Do đó, ta không thể kết luận hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; -1)$ vì khoảng này chứa điểm gián đoạn $-2$. (Cách gọi "nghịch biến trên $(-\infty; -1)$" là sai theo lý thuyết, phải tách thành các khoảng). Các mệnh đề B, C, D đều đúng. **Câu 2: Đáp án A** * **Giải thích:** Đồ thị có dạng chữ W, hàm số đồng biến trên các khoảng đi lên là $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$. Đối chiếu các đáp án, khoảng $(-1; 0)$ là đáp án đúng. **Câu 3: Đáp án D** * **Giải thích:** Số điểm cực trị là số lần đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu. Dựa vào bảng xét dấu, $f'(x)$ đổi dấu tại $x=1$ (từ $-$ sang $+$) và $x=2$ (từ $+$ sang $-$). Tại $x=3$, $f'(x)$ không đổi dấu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. **Câu 4: Đáp án D** * **Giải thích:** "Cực tiểu của hàm số" (tức là giá trị cực tiểu $y_{CT}$) là điểm thấp nhất tại hõm của bảng biến thiên. Tại $x = 0$, $y$ đạt cực tiểu bằng $3$. **Câu 5: Đáp án B** * **Giải thích:** * A. Đa thức bậc 4 luôn có cực trị nên không thể luôn đồng biến. * B. $y = \frac{x+1}{-x+3} \Rightarrow y' = \frac{1 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)}{(-x+3)^2} = \frac{4}{(-x+3)^2} > 0 \,\, \forall x \neq 3$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. * C. $y' = \frac{-3}{(2x-1)^2} < 0$, hàm số nghịch biến. * D. $y' = -6x^2 - 3 < 0$, hàm số nghịch biến. **Câu 6: Đáp án B** * **Giải thích:** $y' = \frac{(2x-2)(1-x) - (-1)(x^2-2x)}{(1-x)^2} = \frac{-x^2+2x-2}{(1-x)^2} = \frac{-(x-1)^2-1}{(1-x)^2} < 0 \,\, \forall x \neq 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. **Câu 7: Đáp án C** * **Giải thích:** Tập xác định: $2x-x^2 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$. $y' = \frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$. Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $y' > 0$ khi $x \in (0; 1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 1)$. **Câu 8: Đáp án B** * **Giải thích:** Hàm số $f(x)$ nghịch biến khi $f'(x) < 0$ (phần đồ thị $f'(x)$ nằm dưới trục hoành). Nhìn vào đồ thị, $f'(x) < 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(1; 5)$. Khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ là tập con của $(-\infty; -1)$ nên đáp án B đúng. **Câu 9: Đáp án B** * **Giải thích:** $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$. Lập bảng xét dấu đạo hàm, $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x = -1$. Do đó điểm cực đại của hàm số là $x = -1$. **Câu 10: Đáp án A** * **Giải thích:** $y' = \frac{(4x-1)(x-3) - (2x^2-x+1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2-12x+2}{(x-3)^2}$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{8} = 3 \pm 2\sqrt{2}$. Lập bảng xét dấu, hàm số đạt giá trị cực tiểu tại $x = 3 + 2\sqrt{2}$. Thay vào phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị $y = \frac{U'}{V'} = 4x-1$, ta được $y_{CT} = 4(3+2\sqrt{2}) - 1 = 11 + 8\sqrt{2}$. **Câu 11: Đáp án D** * **Giải thích:** Các khẳng định A, B, C đều là các tính chất chuẩn xác của véc-tơ trong hình hộp. Khẳng định D sai. **Câu 12: Đáp án B** * **Giải thích:** $f'(x) = (x-1)(x+1)^2(5-x)$. Đạo hàm bằng 0 tại 1, -1, 5. Trong khoảng $(1; 5)$, xét $x = 2 \Rightarrow f'(2) = (1)(9)(3) > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 5)$. Suy ra $f(1) < f(2) < f(4)$. **Câu 13: Đáp án C** * **Giải thích:** Tính đạo hàm của C: $y = 3x^3+3x-2 \Rightarrow y' = 9x^2 + 3 > 0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$. **Câu 14: Đáp án C** * **Giải thích:** Dựa vào đồ thị $f'(x)$, đường cong cắt trục hoành tại $x=-5$ và $x=-3$, sau đó tiếp xúc (hoặc tạo thành một gốc lồi cắt trục hoành và đi xuống lại) tại khu vực lân cận của $O$, nhưng nhìn tổng thể phần từ $-3$ đến $+\infty$ đồ thị chủ yếu nằm dưới trục hoành (trừ các điểm tiếp xúc bằng 0). Do đó $f'(x) \le 0$ trên $(-3; +\infty)$, tức là hàm số nghịch biến trên $(-3; +\infty)$. **Câu 15: Đáp án D** * **Giải thích:** $y' = \frac{m \cdot 1 - 1 \cdot 3}{(x+1)^2} = \frac{m-3}{(x+1)^2}$. Để hàm phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định, ta cần $y' > 0 \Leftrightarrow m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > 3$. **Câu 16: Đáp án C** * **Giải thích:** Quy tắc hình hộp: Đường chéo $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$. Sắp xếp lại ta được đáp án C đúng. **Câu 17: Đáp án C** * **Giải thích:** $\vec{AC} + \vec{C'D'} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$ (do $\vec{C'D'} = \vec{CD}$). Vì hình lập phương cạnh 1 nên $|\vec{AD}| = 1$. **Câu 18: Đáp án D** * **Giải thích:** Ta có $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = (\vec{CB} - \vec{CA}) + \frac{1}{2}\vec{BB'}$. Thay $\vec{CB}=\vec{b}, \vec{CA}=\vec{a}, \vec{BB'}=\vec{c}$ ta được $\vec{AM} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$. **Câu 19: Đáp án D** * **Giải thích:** Tính hiệu $2(\vec{PN} - \vec{PM}) = 2\vec{MN}$. Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình nên $2\vec{MN} = \vec{AB}$. **Câu 20: Đáp án D** * **Giải thích:** Trong tứ diện, đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh đối diện có đẳng thức véc-tơ đúng là $\vec{IJ} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$. Ở đáp án D, đẳng thức bị viết dưới dạng độ dài đoạn thẳng (vô hướng) hoặc sai thứ tự các đỉnh, điều này không tạo thành một đẳng thức đúng (không thể lấy trung bình cộng độ dài hai cạnh chéo nhau). --- ## PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1:** Hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 + (m-3)x + 2$ * **a) ĐÚNG.** Đạo hàm đúng là $y' = -x^2 + 2(m-1)x + m - 3$. * **b) ĐÚNG.** Khi $m=0$, $y' = -x^2 - 2x - 3 = -(x+1)^2 - 2 < 0 \,\, \forall x$. Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. * **c) SAI.** Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \ge 0 \,\, \forall x$. Tuy nhiên vì hệ số $a = -1 < 0$ nên parabol luôn quay bề lõm xuống dưới, không thể luôn dương. * **d) SAI.** Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $\Delta' = (m-1)^2 - (-1)(m-3) \le 0 \Leftrightarrow m^2 - m - 2 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 2$. Có 4 giá trị nguyên của $m$ là $\{-1; 0; 1; 2\}$, không phải là 3 giá trị. **Câu 2:** Hàm số $y = \frac{-x^2+2x+2}{x+1}$ * **a) ĐÚNG.** $y' = \frac{-x^2-2x}{(x+1)^2}$. Cho $y'=0 \Rightarrow x=0, x=-2$. Trên $(0; +\infty)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. * **b) SAI.** Khoảng $(-2; 0)$ chứa điểm gián đoạn $x = -1$. Hàm số chỉ đồng biến trên $(-2; -1)$ và $(-1; 0)$, không được gộp lại. * **c) SAI.** Trên $(1; +\infty)$ hàm số nghịch biến. Do đó nếu $a < b$ thì $f(a) > f(b)$. * **d) ĐÚNG.** Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình $y = \frac{-2x+2}{1} = -2x+2$. Giao với trục hoành (y=0) tại $x=1$. **Câu 3:** Hàm số $y = \frac{x}{x^2+16}$ * **a) ĐÚNG.** Tập xác định là $\mathbb{R}$ vì $x^2+16 > 0 \,\, \forall x$. * **b) SAI.** Đạo hàm đúng phải là $y' = \frac{16-x^2}{(x^2+16)^2}$. Mệnh đề bị thiếu bình phương ở mẫu. * **c) ĐÚNG.** Hàm số có $y' = \frac{16-x^2}{(x^2+16)^2}$. $y' > 0 \Leftrightarrow 16-x^2 > 0 \Leftrightarrow -4 < x < 4$. * **d) SAI.** Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -4$ (vì $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$), đạt cực đại tại $x = 4$. **Câu 4:** $f(t) = \frac{26t+10}{t+5}$ * **a) SAI.** Thay $t = 10 \Rightarrow f(10) = \frac{26(10)+10}{10+5} = \frac{270}{15} = 18$ (nghìn người), không phải 19. * **b) ĐÚNG.** $f'(t) = \frac{26 \cdot 5 - 10}{(t+5)^2} = \frac{120}{(t+5)^2} > 0 \,\, \forall t \ge 0$. * **c) ĐÚNG.** Đạo hàm luôn dương nên hàm số tăng. Tuy nhiên $\lim_{t \to +\infty} f(t) = 26$, do đó dân số không bao giờ vượt qua mức tiệm cận ngang 26 nghìn người. * **d) ĐÚNG.** Năm 2025 tương ứng với $t = 2025 - 1990 = 35$. Tốc độ tăng dân số là $f'(35) = \frac{120}{(35+5)^2} = \frac{120}{1600} = 0,075$ (nghìn người/năm). --- ## PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** * **Đáp án:** **-1** * **Giải thích:** Ta có $y' = \frac{(2x+1)(x-2) - (x^2+x+3)}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}$. Giải $y'=0 \Rightarrow x=-1$ (Cực đại) và $x=5$ (Cực tiểu). Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ} = y(-1) = \frac{(-1)^2+(-1)+3}{-1-2} = -1$. **Câu 2:** * **Đáp án:** **1** * **Giải thích:** Để hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$: 1. $y' < 0 \Leftrightarrow m^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 2$. 2. Điểm gián đoạn $x = -\frac{m}{2} \notin (0; 1) \Leftrightarrow -\frac{m}{2} \le 0$ hoặc $-\frac{m}{2} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 0$ hoặc $m \le -2$. Kết hợp lại: $m \in [0; 2)$. Các số nguyên $m$ thỏa mãn là $0$ và $1$. Tổng là $0 + 1 = 1$. **Câu 3:** * **Đáp án:** **5.39** * **Giải thích:** Vì các lực tác dụng dọc theo các cạnh của hình hộp chữ nhật đồng quy tại A nên chúng vuông góc với nhau đôi một. Hợp lực $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$. Độ lớn hợp lực: $|\vec{F}| = \sqrt{|\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + |\vec{F_3}|^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29} \approx 5,385...$ Làm tròn đến hàng phần trăm là $5,39$. **Câu 4:** * **Đáp án:** **60** * **Giải thích:** Xét hàm số $c(t) = \frac{t}{t^2+1}$. Đạo hàm $c'(t) = \frac{1-t^2}{(t^2+1)^2}$. Cho $c'(t) = 0 \Rightarrow t = 1$ (giờ) (do $t \ge 0$). Nồng độ đạt tối đa sau $1$ giờ, quy đổi ra phút là $60$ phút. **Câu 5:** * **Đáp án:** **111** * **Giải thích:** Gọi $k$ là số khách nhận thêm. Doanh thu khi có $k$ khách thêm: $R(k) = (30+k)(5000 - ak)$ (đơn vị: nghìn VNĐ). Để doanh thu tăng dần khi nhận thêm từ $1$ đến $8$ khách, ta cần $R(k) > R(k-1)$ với mọi $k \in \{1,2,...,8\}$. Xét $\Delta R_k = R(k) - R(k-1) = 5000 - a(2k+29) > 0$. Hàm số bậc nhất này giảm theo $k$, nên chỉ cần điều kiện đúng tại $k=8$ (trường hợp ngặt nghèo nhất): $\Delta R_8 = 5000 - a(2(8)+29) > 0 \Leftrightarrow 5000 - 45a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{5000}{45} \approx 111,11$. Vì $a$ là số nguyên dương, giá trị lớn nhất của $a$ là $111$.

Đáp án đề Toán Online 2 - 2027