## PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN TRẢ LỜI **Câu 1. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?** * **Lời giải:** Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$ và đạo hàm $y' \ge 0$, bằng $0$ tại một điểm duy nhất (điểm này có giá trị cực trị là $y = 1$). Xét phương án D: $y = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + \frac{2}{3}$. Ta có đạo hàm: $y' = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Đạo hàm bằng $0$ khi $x = 1$. Khi $x = 1$, giá trị hàm số là $y = \frac{1}{3} - 1 + 1 + \frac{2}{3} = 1$. Điều này hoàn toàn trùng khớp với bảng biến thiên đã cho. * **Đáp án:** **D** --- **Câu 2. Cho hàm số $y = \frac{x^2-2x+5}{x-1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?** * **Lời giải:** Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Đạo hàm: $$y' = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+5)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$$ Cho $y' = 0 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff \begin{cases} x = -1 \\ x = 3 \end{cases}$ Bảng xét dấu $y'$ cho thấy $y' < 0$ khi $x \in (-1; 3) \setminus \{1\}$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1; 1)$ và $(1; 3)$. * **Đáp án:** **C** --- **Câu 3. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?** * **Lời giải:** Dựa vào bảng biến thiên: - Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$. Do đó loại phương án B (có tiệm cận đứng $x = -2$). - Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. Do đó loại phương án D (có tiệm cận ngang $y = -2$). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định ($y' < 0$). Xét phương án C: $y = \frac{2x+1}{x-2} \implies y' = \frac{-5}{(x-2)^2} < 0$. Hàm số luôn nghịch biến. * **Đáp án:** **C** --- **Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Khẳng định nào sau đây đúng?** * **Lời giải:** Áp dụng quy tắc hình hộp cho các vectơ xuất phát từ đỉnh $A$ chung đến đỉnh đối diện $C'$: $$\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$$ * **Đáp án:** **B** --- **Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau... Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?** * **Lời giải:** Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $y' \ge 0$ trên đoạn $[0; 2]$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$. * **Đáp án:** **A** --- **Câu 6. Nếu một vật có khối lượng $m \text{ (kg)}$ thì lực hấp dẫn... Tác dụng lên quả lê có khối lượng $105\text{ g}$ là:** * **Lời giải:** Đổi khối lượng: $m = 105\text{ g} = 0,105\text{ kg}$. Độ lớn của lực hấp dẫn (trọng lực): $$P = m \cdot g = 0,105 \cdot 9,8 = 1,029 \text{ N}$$ * **Đáp án:** **C** --- **Câu 7. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 2. Tính $\vec{AB}\cdot\vec{CD}$.** * **Lời giải:** Trong tứ diện đều, hai cạnh đối diện luôn vuông góc với nhau. Vì vậy, $AB \perp CD$, dẫn đến tích vô hướng: $$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$$ * **Đáp án:** **D** --- **Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x+2) > -1$ là:** * **Lời giải:** Điều kiện xác định: $x + 2 > 0 \iff x > -2$. Vì cơ số $a = \frac{1}{2} < 1$, bất phương trình tương đương với: $$x + 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \iff x + 2 < 2 \iff x < 0$$ Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm là $x \in (-2; 0)$. * **Đáp án:** **C** --- **Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật... Thể tích khối chóp đã cho bằng:** * **Lời giải:** Diện tích đáy hình chữ nhật: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 3a \cdot a = 3a^2$. Chiều cao của hình chóp là $SD = 2a$. Thể tích khối chóp: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SD = \frac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a = 2a^3$$ * **Đáp án:** **A** --- **Câu 10. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau... Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:** * **Lời giải:** Đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu 3 lần khi qua các điểm $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$. Do đó hàm số có 3 điểm cực trị. * **Đáp án:** **A** --- **Câu 11. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 2(x^2-1)(x+2)$... Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu?** * **Lời giải:** Ta có $f'(x) = 0 \iff 2(x-1)(x+1)(x+2) = 0 \iff x = 1, x = -1, x = -2$. Lập bảng xét dấu của $f'(x)$: - Khoảng $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$ - Khoảng $(-2; -1)$: $f'(x) > 0 \implies$ đạt cực tiểu tại $x = -2$. - Khoảng $(-1; 1)$: $f'(x) < 0 \implies$ đạt cực đại tại $x = -1$. - Khoảng $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0 \implies$ đạt cực tiểu tại $x = 1$. Như vậy, hàm số có 2 điểm cực tiểu. * **Đáp án:** **A** --- **Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=a, AA'=2a$. Khoảng cách giữa $AB'$ và $CC'$ bằng:** * **Lời giải:** Vì đường thẳng $CC'$ song song với $BB'$, suy ra $CC' \parallel (ABB'A')$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB'$ và $CC'$ bằng khoảng cách từ đường thẳng $CC'$ đến mặt phẳng $(ABB'A')$: $$d(CC', AB') = d(CC', (ABB'A')) = d(C, (ABB'A'))$$ Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng tam giác đều nên khoảng cách từ $C$ đến mặt bên $(ABB'A')$ chính bằng độ dài đường cao hạ từ $C$ của tam giác đều $ABC$: $$d = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ * **Đáp án:** **D** --- ## PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI **Câu 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A_1B_1C_1$ có cạnh đáy bằng $x$ và chiều cao bằng $y$.** * **a) $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}x^2$.** * **Đúng.** Vì $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) = x \cdot x \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x^2$. * **b) $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{BB_1}$.** * **Đúng.** Ta có $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$. Mà $\vec{CC_1} = \vec{BB_1}$ nên $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{BB_1}$. * **c) $\vec{CB_1} = \vec{AB} - (\vec{CA} + \vec{AA_1})$.** * **Sai.** Ta có $\vec{CB_1} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{AA_1}$. Biểu thức đề bài đưa ra là $\vec{AB} - \vec{CA} - \vec{AA_1}$, không bằng $\vec{CB_1}$. * **d) Góc giữa $(AC_1, CB_1) > 60^\circ$ khi $\frac{y}{x} < \sqrt{2}$.** * **Đúng.** Thiết lập hệ trục tọa độ với $A$ là gốc tọa độ, ta tính được: $$\cos \alpha = \frac{|y^2 - \frac{1}{2}x^2|}{x^2 + y^2}$$ Để góc $\alpha > 60^\circ$ thì $\cos \alpha < \frac{1}{2}$. Giải bất phương trình với biến $t = \frac{y}{x} > 0$: $$\frac{|t^2 - \frac{1}{2}|}{1+t^2} < \frac{1}{2} \iff 2|t^2 - \frac{1}{2}| < 1 + t^2 \iff t < \sqrt{2}$$ --- **Câu 2. Cho hàm số $y = \frac{x^2-2x+2}{x-1}$.** * **a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = \frac{x^2-2x}{x+1}$.** * **Sai.** Đạo hàm đúng phải là $y' = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$. * **b) Giá trị cực đại của hàm số bằng $-2$.** * **Đúng.** Đạo hàm bằng $0$ tại $x=0$ và $x=2$. Điểm cực đại của hàm số là $x=0$, giá trị cực đại tương ứng là $y(0) = -2$. * **c) Điểm cực tiểu của hàm số bằng $0$.** * **Sai.** Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2$, còn giá trị cực tiểu của hàm số bằng $y(2) = 2$. * **d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là $y = 2x - 2$.** * **Đúng.** Hai điểm cực trị của đồ thị là $A(0; -2)$ và $B(2; 2)$. Phương trình đường thẳng đi qua $A$ và $B$ là $y = 2x - 2$. --- **Câu 3. Cho hình chóp $ABCD.A'B'C'D'$...** *(Giả thiết sửa lại cho chính xác dựa trên đề bài gốc: $\vec{MC} = m\vec{MA}$ và $\vec{ND} = m\vec{NC'}$)* * **a) $\vec{BD'} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.** * **Sai.** Vectơ đúng theo quy tắc hình hộp là $\vec{BD'} = \vec{BA} + \vec{BB'} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. * **b) $\vec{BM} = \frac{\vec{c} - m\vec{a}}{1-m}$.** * **Đúng.** Hệ thức $\vec{MC} = m\vec{MA} \iff \vec{BC} - \vec{BM} = m(\vec{BA} - \vec{BM}) \iff \vec{BM} = \frac{\vec{c} - m\vec{a}}{1-m}$. * **c) $\vec{BN} = \frac{1}{1-m}\vec{a} - \frac{m}{1-m}\vec{b} + \vec{c}$.** * **Đúng.** Biến đổi tương tự từ hệ thức $\vec{ND} = m\vec{NC'}$. * **d) Khi $m = \frac{1}{2}$ thì $MN \parallel BD'$.** * **Sai.** Tìm điều kiện để $\vec{MN} = k\vec{BD'}$, ta giải được $m = -\frac{1}{2}$ thì hai đường thẳng mới song song. --- **Câu 4. Một công ty bất động sản có 150 căn hộ cho thuê...** * **a) Khi giá cho thuê mỗi căn hộ là 2 200 000 đồng thì có 10 căn hộ bị trống.** * **Đúng.** Giá tăng lên 200 000 đồng (tương ứng 2 lần tăng 100 000 đồng). Số căn hộ trống là $2 \times 5 = 10$. * **b) Thu nhập cao nhất của công ty đạt được là 312 500 000 đồng.** * **Đúng.** Hàm số doanh thu theo số lần tăng giá $x$: $$T(x) = (2 000 000 + 100 000x)(150 - 5x) = 500 000(20+x)(30-x)$$ Hàm đạt cực đại tại $x = \frac{-20+30}{2} = 5$. Doanh thu cực đại là $T(5) = 312 500 000$ đồng. * **c) Khi giá cho thuê mỗi căn hộ là 2 700 000 đồng thì thu nhập của công ty cao nhất.** * **Sai.** Doanh thu cao nhất đạt được khi $x=5$, tức là giá thuê là $2 500 000$ đồng. * **d) Khi thu nhập công ty cao nhất thì số căn hộ có người thuê là 5 căn hộ.** * **Sai.** Khi $x = 5$, số căn hộ có người thuê là $150 - 5(5) = 125$ căn hộ. --- ## PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN **Câu 1. Cho đồ thị hàm số $y = x^4 - 3x^2 + ax + b$ có $A(2;-2)$ là một điểm cực tiểu. Tính $S = a + b$.** * **Lời giải:** Ta có đạo hàm: $y' = 4x^3 - 6x + a$. Vì $A(2; -2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên: $$\begin{cases} y'(2) = 0 \\ y(2) = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} 4(2)^3 - 6(2) + a = 0 \\ 2^4 - 3(2)^2 + 2a + b = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} a = -20 \\ b = 34 \end{cases}$$ Kiểm tra lại thấy $y''(2) = 12(2)^2 - 6 = 42 > 0$ (thỏa mãn cực tiểu). Vậy $S = a + b = -20 + 34 = 14$. * **Đáp số:** **14** --- **Câu 2. Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm... Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó lĩnh được số tiền nhiều hơn 200 triệu đồng?** * **Lời giải:** Số tiền nhận được sau $n$ năm gửi tiết kiệm là: $$A = 100 \cdot (1 + 0,07)^n \text{ (triệu đồng)}$$ Để nhận được số tiền nhiều hơn 200 triệu đồng: $$100 \cdot (1,07)^n > 200 \iff 1,07^n > 2 \iff n > \log_{1,07}(2) \approx 10,24$$ Vì số năm phải là số nguyên dương nên người đó cần gửi ít nhất 11 năm. * **Đáp số:** **11** --- **Câu 3. Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều... Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp (làm tròn đến hàng triệu).** * **Lời giải:** Tính chiều cao $h$ của hình chóp cụt: Khoảng cách từ tâm đáy lớn đến đỉnh đáy lớn là $R_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2}\text{ m}$. Khoảng cách từ tâm đáy nhỏ đến đỉnh đáy nhỏ là $R_2 = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\text{ m}$. Chiều cao $h$: $$h = \sqrt{c^2 - (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ m}$$ Thể tích khối chóp cụt: $$V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}(25 + 4 + \sqrt{25 \cdot 4}) = \frac{39\sqrt{2}}{2} \approx 27,58 \text{ m}^3$$ Tổng số tiền mua bê tông tươi: $$T \approx 27,58 \times 1 470 000 \approx 40 538 242 \text{ đồng}$$ Làm tròn đến hàng triệu, số tiền cần mua là 41 000 000 đồng (hoặc 41 triệu đồng). * **Đáp số:** **41 000 000** --- **Câu 4. Trong 30 ngày đầu tiên, có bao nhiêu ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200?** * **Lời giải:** Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$ là: $$f'(t) = -3t^2 + 90t + 600$$ Yêu cầu bài toán: $$f'(t) > 1200 \iff -3t^2 + 90t + 600 > 1200 \iff t^2 - 30t + 200 < 0 \iff 10 < t < 20$$ Do $t \in \mathbb{N}$, các giá trị thỏa mãn là $t \in \{11, 12, \dots, 19\}$. Số ngày thỏa mãn là: $19 - 11 + 1 = 9$ ngày. * **Đáp số:** **9** --- **Câu 5. Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của $a+b+c$ là bao nhiêu?** * **Lời giải:** Từ đồ thị hàm số ta xác định được: - Đồ thị cắt trục tung tại $(0; 5) \implies d = 5$. - Đồ thị có điểm cực đại tại $(3; 5)$ và điểm cực tiểu tại $(1; 1)$. Vì điểm cực đại có tọa độ $(3; 5)$ và đồ thị cắt trục tung tại $(0; 5)$ nên phương trình hàm số có dạng: $$y - 5 = ax(x-3)^2 \iff y = ax^3 - 6ax^2 + 9ax + 5$$ Do điểm cực tiểu là $(1; 1)$, thay tọa độ vào phương trình trên ta được: $$1 = a(1)^3 - 6a(1)^2 + 9a(1) + 5 \iff 4a = -4 \iff a = -1$$ Từ đó tìm được các hệ số: $a = -1$, $b = 6$, $c = -9$. Vậy $a + b + c = -1 + 6 - 9 = -4$. * **Đáp số:** **-4** --- **Câu 6. Biết đường thẳng $d: y = (3m+1)x + 3$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 1$. Giá trị của $m$ bằng bao nhiêu?** * **Lời giải:** Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 1$: $$y' = 3x^2 - 6x = 0 \iff \begin{cases} x = 0 \implies y = -1 \\ x = 2 \implies y = -5 \end{cases}$$ Hai điểm cực trị là $A(0; -1)$ và $B(2; -5)$. Đường thẳng $AB$ đi qua hai điểm cực trị có hệ số góc là: $$k = \frac{-5 - (-1)}{2 - 0} = -2$$ Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên tích hai hệ số góc bằng $-1$: $$(3m+1) \cdot (-2) = -1 \iff 3m+1 = 0,5 \iff m = -\frac{1}{6} \approx -0,2$$ * **Đáp số:** **-0,2**

Đáp án đề Toán Tặng Kèm 4 - 2027