# ĐỀ SỐ 1 ## PHẦN 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1:** Chọn **B** *Giải thích:* Ta có $a^2 \cdot \sqrt[3]{a} = a^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3}}$. Do đó, $P = \log_a\left(a^{\frac{7}{3}}\right) = \frac{7}{3}$. **Câu 2:** Chọn **B** *Giải thích:* Đồ thị nằm bên phải trục tung (tập xác định $x > 0$) và đi qua điểm $(1; 0)$ là đặc trưng của hàm số lôgarit $y = \log_a x$. Trong các đáp án, chỉ có $y = \log_2 x$ thỏa mãn. **Câu 3:** Chọn **A** *Giải thích:* $3^{x-1} > 27 \Leftrightarrow 3^{x-1} > 3^3 \Leftrightarrow x - 1 > 3 \Leftrightarrow x > 4$. Tập nghiệm là $(4; +\infty)$. **Câu 4:** Chọn **C** *Giải thích:* Đạo hàm của hàm hợp: $f'(x) = (\sin(2x))' = (2x)' \cdot \cos(2x) = 2\cos(2x)$. **Câu 5:** Chọn **A** *Giải thích:* Đạo hàm $y' = (\sqrt{2x+1})' = \frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$. **Câu 6:** Chọn **B** *Giải thích:* Vận tốc tức thời là đạo hàm của phương trình chuyển động: $v(t) = s'(t) = 2t + 3$. Tại $t = 2s$, vận tốc là $v(2) = 2(2) + 3 = 7$ (m/s). **Câu 7:** Chọn **C** *Giải thích:* Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là điểm $A$. Hình chiếu của $B$ là chính nó. Do đó, hình chiếu của đường thẳng $SB$ là đường thẳng $AB$. **Câu 8:** Chọn **B** *Giải thích:* Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (6a^2) \cdot (2a) = 4a^3$. **Câu 9:** Chọn **D** *Giải thích:* Ta có $B'C' \parallel BC$, do đó góc giữa $AB$ và $B'C'$ chính là góc giữa $AB$ và $BC$. Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$. **Câu 10:** Chọn **B** *Giải thích:* Theo định nghĩa xác suất, biến cố "Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra" là biến cố hợp, kí hiệu là $A \cup B$. **Câu 11:** Chọn **C** *Giải thích:* Vì $A, B$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố giao là: $P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,2 = 0,1$. **Câu 12:** Chọn **A** *Giải thích:* Tổng số bi là $5 + 3 = 8$ viên. Số bi đỏ là 3. Xác suất lấy được bi đỏ là $P = \frac{3}{8}$. --- ## PHẦN 2: Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1: Hàm số $f(x) = \ln(x^2 - 3x + 2)$** * **a) Sai.** Điều kiện xác định: $x^2 - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$. * **b) Đúng.** Áp dụng $(\ln u)' = \frac{u'}{u} \Rightarrow f'(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$. * **c) Đúng.** $f'(0) = \frac{2(0) - 3}{0^2 - 3(0) + 2} = -\frac{3}{2} = -1,5$. * **d) Đúng.** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,5$. Tuy nhiên $x = 1,5 \notin D$, do đó phương trình vô nghiệm. **Câu 2: Hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$** * **a) Đúng.** Đạo hàm cấp một $f'(x) = 3x^2 - 6x$. Đạo hàm cấp hai $f''(x) = 6x - 6$. * **b) Sai.** $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 \neq 0$. * **c) Đúng.** Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=0$ là $k = f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) = 0$. * **d) Đúng.** Phương trình $f'(x) = -3 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3(x-1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Có đúng một nghiệm duy nhất. **Câu 3: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt{2}$.** * **a) Đúng.** Ta có $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB$. Vậy $\Delta SBC$ vuông tại B. * **b) Đúng.** Hình chiếu của $SC$ lên đáy là $AC$. Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$. Ta có $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông). $\tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45^\circ$. * **c) Đúng.** Ta có $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)$. * **d) Đúng.** $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$. **Câu 4: Bài toán hai xạ thủ** ($P(A) = 0,8; P(B) = 0,7$) * **a) Đúng.** Xác suất cả 2 đều trúng (độc lập): $P(AB) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$. * **b) Đúng.** Xác suất cả 2 đều trượt: $P(\overline{A}\overline{B}) = (1 - 0,8)(1 - 0,7) = 0,2 \cdot 0,3 = 0,06$. * **c) Đúng.** Xác suất có ít nhất 1 người trúng: $1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$. * **d) Đúng.** Xác suất chỉ có đúng viên thứ nhất trúng là: $P(A\overline{B}) = (0,8 \cdot 0,3) = 0,24$ --- ## PHẦN 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Tính đạo hàm cấp hai của $f(x) = \cos(3x)$ tại $x = \frac{\pi}{3}$. * $f'(x) = -3\sin(3x)$. * $f''(x) = -9\cos(3x)$. * Thay số: $f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -9\cos(\pi) = -9(-1) = 9$. * **Đáp án: 9** **Câu 2:** * Mô hình $S = A \cdot e^{rt}$. Ban đầu $t=0, S=500 \Rightarrow A = 500$. * Sau $t=3$ có $1500$ con $\Rightarrow 1500 = 500 \cdot e^{3r} \Rightarrow e^{3r} = 3 \Rightarrow r = \frac{\ln 3}{3}$. * Cần tìm $t$ khi $S = 2500 \Rightarrow 2500 = 500 \cdot e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot t} \Rightarrow e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot t} = 5$. * Lấy $\ln$ hai vế: $\frac{\ln 3}{3} \cdot t = \ln 5 \Rightarrow t = \frac{3\ln 5}{\ln 3} \approx 4,39$ (giờ). * **Đáp án: 4,39** **Câu 3:** * Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $\Delta ABC$ đều cạnh 2 $\Rightarrow AM = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. * Kẻ $AH \perp SM$ tại $H$. Vì $BC \perp (SAM)$ nên $AH \perp (SBC)$, $d(A, (SBC)) = AH$. * Trong $\Delta SAM$ vuông tại $A$: $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} + \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2}{3} \Rightarrow AH = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22$. * **Đáp án: 1,22** **Câu 4:** Tính xác suất 2 viên lấy ra cùng màu. * Hộp I (4 đỏ, 3 xanh $\Rightarrow$ 7 bi), Hộp II (5 đỏ, 2 xanh $\Rightarrow$ 7 bi). * Trường hợp 1 (Cùng đỏ): $P_1 = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{7} = \frac{20}{49}$. * Trường hợp 2 (Cùng xanh): $P_2 = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{49}$. * Xác suất tổng: $P = \frac{20}{49} + \frac{6}{49} = \frac{26}{49} \approx 0,53$. * **Đáp án: 26/49** **Câu 5:** Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và $(ABCD)$. * Góc là $\widehat{SCA}$. $AC = a\sqrt{2}$. $\tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$. * **Đáp án: 45** (độ) **Câu 6:** Rút 2 thẻ từ 10 thẻ (1 đến 10). Tính xác suất để tổng là số lẻ. * Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C^2_{10} = 45$. * Từ 1 đến 10 có 5 số chẵn, 5 số lẻ. Để tổng 2 thẻ là số lẻ thì phải rút được 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ. * Số cách thỏa mãn: $C^1_5 \cdot C^1_5 = 25$. * Xác suất $P = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} \approx 0,(5)$. * **Đáp án: 5/9** (hoặc 0,56) --- # ĐỀ SỐ 2 ## PHẦN 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1:** Chọn **A** *Giải thích:* $P = \log_a\left(a \cdot \sqrt[3]{a}\right) = \log_a(a \cdot a^{\frac{1}{3}}) = \log_a(a^{\frac{4}{3}}) = \frac{4}{3}$. **Câu 2:** Chọn **B** *Giải thích:* Hàm số $y = \log_{0.5} x$ có cơ số $0 < 0.5 < 1$ nên là hàm nghịch biến trên tập xác định $(0; +\infty)$. **Câu 3:** Chọn **A** *Giải thích:* $5^{x+2} < 25 \Leftrightarrow 5^{x+2} < 5^2 \Leftrightarrow x+2 < 2 \Leftrightarrow x < 0$. Tập nghiệm là $(-\infty; 0)$. **Câu 4:** Chọn **B** *Giải thích:* $f'(x) = (\ln(2x+1))' = \frac{(2x+1)'}{2x+1} = \frac{2}{2x+1}$. **Câu 5:** Chọn **C** *Giải thích:* $y' = (\cos(x^2))' = -(x^2)' \sin(x^2) = -2x\sin(x^2)$. **Câu 6:** Chọn **B** *Giải thích:* Phương trình vận tốc $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 3$. Gia tốc là $a(t) = v'(t) = 6t$. Tại $t=2s \Rightarrow a(2) = 12$ m/s². **Câu 7:** Chọn **D** *Giải thích:* Vì đường thẳng $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ sẽ vuông góc với **tất cả** các đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$. **Câu 8:** Chọn **C** *Giải thích:* Do $B'D' \parallel BD$ nên góc giữa $AC$ và $B'D'$ chính là góc giữa $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau, góc bằng $90^\circ$. **Câu 9:** Chọn **B** *Giải thích:* Thể tích $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (3a^2) \cdot (4a) = 4a^3$. **Câu 10:** Chọn **B** *Giải thích:* Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì xác suất của biến cố giao thỏa mãn: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. **Câu 11:** Chọn **A** *Giải thích:* Các số nguyên tố trên con xúc xắc là $\{2, 3, 5\}$ (3 khả năng). Vậy xác suất là $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. **Câu 12:** Chọn **B** *Giải thích:* Áp dụng công thức cộng xác suất: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \Rightarrow 0,7 = 0,4 + 0,5 - P(AB) \Rightarrow P(AB) = 0,2$. Nhận thấy $P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 = P(AB)$, nên A và B là hai biến cố **độc lập**. --- ## PHẦN 2: Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1: Hàm số $f(x) = x \cdot e^x$** * **a) Đúng.** $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$. * **b) Sai.** $f'(0) = e^0(1 + 0) = 1 \neq 0$. * **c) Đúng.** $f''(x) = (e^x(x+1))' = e^x(x+1) + e^x(1) = e^x(x+2)$. * **d) Đúng.** Phương trình tiếp tuyến tại $x=0$: $y = f'(0)(x-0) + f(0) = 1(x) + 0 = x$. **Câu 2: Hình chóp $S.ABCD$ vuông tại $A$ (đáy là hình vuông), $SA = a$** * **a) Đúng.** $BD \perp AC$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)$. * **b) Sai.** Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$. Ta có $\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{SBA} = 45^\circ$ (Phát biểu ghi $60^\circ$ là sai). * **c) Đúng.** Khoảng cách từ $S$ đến mặt đáy chính là chiều cao $SA = a$. * **d) Đúng.** $V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}$. **Câu 3: Bệnh nhân X và Y** ($P(X_{nặng}) = 0,1; P(Y_{nặng}) = 0,2$) * **a) Đúng.** Cả 2 bị biến chứng nặng: $P = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02$. * **b) Đúng.** Cả 2 không bị nặng: $P = (1-0,1)(1-0,2) = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72$. * **c) Sai.** Bệnh nhân X bị nặng, Y không bị nặng: $P = 0,1 \cdot 0,8 = 0,08$ (Phát biểu ghi 0,8 là sai). * **d) Sai.** Bệnh nhân X không bị nặng, Y không bị nặng là 0,72 (như đã tính ở câu b), nhưng phát biểu ghi 0,08 là sai. **Câu 4: Phương trình $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$** * **a) Đúng.** Đặt $t = 2^x \ (t>0)$, phương trình thành $t^2 - 3t + 2 = 0$. * **b) Sai.** Giải hệ có nghiệm $t = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0$ và $t = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x_2 = 1$. Nghiệm là $x=0, x=1$ chứ không phải 1 và 2. * **c) Đúng.** Tổng các nghiệm: $x_1 + x_2 = 0 + 1 = 1$. * **d) Sai.** Tích các nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 1 = 0$ (Phát biểu ghi 2 là sai). --- ## PHẦN 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Đạo hàm của $f(x) = \ln(x^2 + x + 1)$ tại $x=0$. * $f'(x) = \frac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1} = \frac{2x+1}{x^2+x+1}$. Thay $x=0 \Rightarrow f'(0) = \frac{1}{1} = 1$. * **Đáp án: 1** **Câu 2:** Giải bất phương trình $\log_2(x-3) + \log_2(x-1) \le 3$. * Điều kiện: $x > 3$. * Bất phương trình tương đương: $\log_2((x-3)(x-1)) \le 3 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 \le 2^3 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 \le 0$. * Nghiệm của bpt là $-1 \le x \le 5$. Kết hợp điều kiện ta được $3 < x \le 5$. * Các số nguyên thuộc tập nghiệm: $4, 5$. Có 2 nghiệm nguyên. * **Đáp án: 2** **Câu 3:** $s(t) = 2t^2 + 5t + 2$. Vận tốc lúc $t=4s$. * $v(t) = s'(t) = 4t + 5$. Vận tốc tại $t=4$ là $v(4) = 4(4) + 5 = 21$. * **Đáp án: 21** **Câu 4:** Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$. * Gọi $M$ là trung điểm $BC$, vì đáy là tam giác đều cạnh $a$ nên $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. * Góc giữa 2 mặt phẳng là góc $\widehat{SMA}$. Ta có $\tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1$. Suy ra góc là $45^\circ$. * **Đáp án: 45** (độ) **Câu 5:** Lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$. * $AB = a, AC = a\sqrt{3}$. Cạnh huyền $BC = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$. * Vì $BCC'B'$ là hình vuông nên chiều cao lăng trụ là $h = BB' = BC = 2a$. * Diện tích đáy $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. * Thể tích khối lăng trụ $V = S \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a^3$. Hệ số là $\sqrt{3}$. * **Đáp án: $\sqrt{3}$** (hoặc xấp xỉ 1,73) **Câu 6:** Xác suất ít nhất một mục tiêu bị trúng đạn. * Xác suất trúng của xạ thủ 1 là 0,7; xạ thủ 2 là 0,8. * Xác suất cả hai đều trượt là: $(1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$. * Xác suất ít nhất một xạ thủ trúng là: $P = 1 - 0,06 = 0,94$. * **Đáp án: 0,94** --- # ĐỀ SỐ 3 ## PHẦN 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1:** Chọn **A** *Giải thích:* $A = \log_{a^{-1}} (\sqrt[3]{a^8}) = \log_{a^{-1}} (a^{\frac{8}{3}}) = -1 \cdot \frac{8}{3} = -\frac{8}{3}$. **Câu 2:** Chọn **D** *Giải thích:* Hàm số mũ $y = (a+1)^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi cơ số lớn hơn 1: $a+1 > 1 \Leftrightarrow a > 0$. **Câu 3:** Chọn **B** *Giải thích:* Vì cơ số $\frac{2}{3} < 1$, bất phương trình tương đương: $x^2 - x + 1 < 2x - 1 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$. Tập nghiệm là $S = (1; 2) \Rightarrow a=1, b=2 \Rightarrow b-a = 2-1 = 1$. **Câu 4:** Chọn **A** *Giải thích:* Đây là công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0; y_0)$: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$. **Câu 5:** Chọn **A** *Giải thích:* Đạo hàm của $y = 2e^{3x}$ là $y' = 2 \cdot (3x)' \cdot e^{3x} = 6e^{3x}$. **Câu 6:** Chọn **B** *Giải thích:* Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$. $y' = 2 \cdot (\sqrt{x})' \cdot \cos(\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos(\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cos(\sqrt{x})$. **Câu 7:** Chọn **A** *Giải thích:* Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau ($SA=SB=SC=SD$) nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Vì ABCD là hình thoi nên tâm đường tròn này chính là giao điểm I của hai đường chéo. Do đó $SI \perp (ABCD)$. **Câu 8:** Chọn **A** *Giải thích:* Do $BC \parallel AD \Rightarrow BC \parallel (SAD)$. Khi đó khoảng cách $d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD))$. Vì $BA \perp AD$ và $BA \perp SA \Rightarrow BA \perp (SAD)$. Khoảng cách chính là đoạn $BA = a$. **Câu 9:** Chọn **B** *Giải thích:* Hình chiếu vuông góc của đoạn EG lên mặt phẳng (BCGF) là đoạn FG. Góc giữa EG và (BCGF) là góc giữa EG và FG, tức là góc $\widehat{EGF}$. Trong hình vuông EFGH, đường chéo EG tạo với cạnh FG góc $45^\circ$. **Câu 10:** Chọn **D** *Giải thích:* P: "Chia hết cho 2", Q: "Chia hết cho 4". Biến cố giao $P \cap Q$ là biến cố lấy được số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 4, tức là số chia hết cho 4 (vì số chia hết cho 4 thì hiển nhiên chia hết cho 2). Vậy nó chính là biến cố Q. **Câu 11:** Chọn **C** *Giải thích:* Vì A và B độc lập nên $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \Rightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{4} \cdot P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{4}{9}$. **Câu 12:** Chọn **B** *Giải thích:* Tổng số sách là 14. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn $\Rightarrow n(\Omega) = C^3_{14} = 364$. Để có "ít nhất hai cuốn Toán", ta có 2 trường hợp: - 2 Toán, 1 Văn: $C^2_8 \cdot C^1_6 = 28 \cdot 6 = 168$ cách. - 3 Toán: $C^3_8 = 56$ cách. Xác suất: $P = \frac{168 + 56}{364} = \frac{224}{364} = \frac{8}{13}$. --- ## PHẦN 2: Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1: Cho hàm $f(x) = (\frac{2}{3})^{x+3}$ và $g(x) = (\frac{3}{2})^{x-5}$** * **a) Sai.** Vì cơ số $\frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. * **b) Sai.** Tập giá trị của hàm số mũ cơ bản luôn là $(0; +\infty)$. * **c) Đúng.** $f(x) = g(x) \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{x+3} = (\frac{2}{3})^{5-x} \Leftrightarrow x+3 = 5-x \Leftrightarrow x = 1$ (là số dương). * **d) Sai.** $f(x) < g(x) \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{x+3} < (\frac{2}{3})^{5-x} \Leftrightarrow x+3 > 5-x \Leftrightarrow x > 1$. Tập nghiệm là $(1; +\infty)$. **Câu 2: Hàm số $y = \frac{x-3}{2x+1}$** * **a) Đúng.** $y' = \frac{1(1) - (-3)(2)}{(2x+1)^2} = \frac{7}{(2x+1)^2}$. Tại $x=0 \Rightarrow y'(0) = 7$. * **b) Đúng.** Thay $x=1$ vào $y'$ ta có $y'(1) = \frac{7}{(2 \cdot 1 + 1)^2} = \frac{7}{9}$. * **c) Sai.** Tính $y'(2) = \frac{7}{25}$. Do $\frac{7}{9} > \frac{7}{25}$ nên $y'(1) > y'(2)$. * **d) Đúng.** Hoành độ $x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = -3 \Rightarrow M(0; -3)$. Tiếp tuyến tại M có hệ số góc $k = y'(0) = 7$. Phương trình tiếp tuyến là $y = 7(x-0) - 3 \Rightarrow y = 7x - 3$. Đường thẳng này có hệ số góc bằng 7 và tung độ gốc $(-3 \neq 2024)$ nên song song với $y = 7x + 2024$. **Câu 3: Hình chóp S.ABCD có $SA \perp (ABCD)$, đáy là hình vuông tâm O** * **a) Đúng.** Vì $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAC)$. * **b) Đúng.** Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) chính là đoạn kẻ từ D vuông góc tới mặt phẳng đó. Vì $BD \perp (SAC)$ tại O nên khoảng cách là đoạn DO. * **c) Đúng.** Hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (SAD) là điểm D (vì $CD \perp (SAD)$). Do đó hình chiếu của SC lên (SAD) là SD. Góc cần tìm là $\widehat{CSD}$. * **d) Đúng.** Ta có $CD \parallel AB \Rightarrow CD \parallel (SAB)$. Vậy $d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CB$ (do $CB \perp (SAB)$). **Câu 4: Bài toán 2 xạ thủ ($P(A) = 0,8; P(B) = 0,7$)** * **a) Sai.** Xác suất người thứ nhất trúng, thứ hai trượt: $P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24$ (phát biểu ghi 0,14). * **b) Đúng.** Xác suất thứ nhất trượt, thứ hai trúng: $P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14$. * **c) Đúng.** Xác suất hai người đều trúng: $P(AB) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$. * **d) Đúng.** Xác suất ít nhất một người trúng: $1 - P(\overline{A} \overline{B}) = 1 - (0,2 \cdot 0,3) = 0,94$. --- ## PHẦN 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Đạt được 80% tức là $Q(t) = 0,8 Q_0$. $1 - e^{-1.5t} = 0.8 \Leftrightarrow e^{-1.5t} = 0.2 \Leftrightarrow -1.5t = \ln(0.2) \Leftrightarrow t = \frac{\ln(0.2)}{-1.5} \approx 1,0729$. **Đáp án: 1,07** **Câu 2:** $y' = \frac{2x(2x+1) - 2x^2}{(2x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x}{(2x+1)^2}$. Đồng nhất hệ số ta có $a=2, b=2$. Giá trị của $a+b+ab = 2 + 2 + 4 = 8$. **Đáp án: 8** **Câu 3:** Vận tốc $v(t) = s'(t) = -t^2 + 8t + 9$. Vật có vận tốc bằng không khi $-t^2 + 8t + 9 = 0 \Rightarrow t = 9$ (s) (nhận nghiệm dương). Quãng đường đi được lúc đó: $s(9) = -\frac{1}{3}(9)^3 + 4(9)^2 + 9(9) = 162$ (m). **Đáp án: 162** **Câu 4:** Trong mặt đáy có $BD \perp AC$, thêm nữa $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)$. Từ tâm đáy O kẻ đường cao OK xuống cạnh SC ($K \in SC$). Do $BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp OK$. Vậy OK là đoạn vuông góc chung. $OK = \frac{SA \cdot OC}{SC} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,816$. Làm tròn tới phần trăm được 0,82. **Đáp án: 0,82** **Câu 5:** Hạ $AH \perp SB$. Vì $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH \Rightarrow AH \perp (SBC)$. HC là hình chiếu của AC lên (SBC). Góc cần tìm là $\widehat{ACH}$. Trong $\Delta SAB$: $AH = \frac{SA \cdot AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \frac{a\sqrt{6} \cdot a}{\sqrt{6a^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. $\sin(\widehat{ACH}) = \frac{AH}{AC} = \frac{a\sqrt{6}/\sqrt{7}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{7}} \approx 0,654 \Rightarrow \widehat{ACH} \approx 41^\circ$. **Đáp án: 41** **Câu 6:** Xác suất để An có thể làm bài (tức ít nhất 1 bóng sáng) bằng 1 trừ đi xác suất cả 3 bóng đều hỏng. $P = 1 - (0,05 \times 0,04 \times 0,03) = 1 - 0,00006 = 0,99994$. **Đáp án: 0,99994** --- # ĐỀ SỐ 4 ## PHẦN 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1:** Chọn **C** *Giải thích:* $P = \log_5 \left(\frac{125}{a^4}\right) = \log_5 125 - 4\log_5 a = 3 - 4(40) = -157$. **Câu 2:** Chọn **D** *Giải thích:* Đồ thị nằm bên phải trục tung, cắt Ox tại (1;0) và có xu hướng tăng dần, chứng tỏ đây là hàm lôgarit có cơ số $a>1$. Chỉ có $y = \log_2 x$ phù hợp. **Câu 3:** Chọn **D** *Giải thích:* Dựa vào cách biến đổi có lý nhất: Giả sử đề bài là $2^{x+8} \le (\frac{1}{8})^{-x} \Leftrightarrow 2^{x+8} \le 2^{3x} \Leftrightarrow x+8 \le 3x \Leftrightarrow 2x \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 4$. Tập nghiệm là $[4; +\infty)$. **Câu 4:** Chọn **D** *Giải thích:* Biểu thức giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{6x+4} - 2}{x-0}$ chính là định nghĩa đạo hàm của $f(x) = \sqrt{6x+4}$ tại $x = 0$. Tức là $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{6x+4} - 2}{x}$. **Câu 5:** Chọn **B** *Giải thích:* $y' = (\sqrt{x})' + 3\cdot(\frac{1}{x})' + (e)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2} + 0$. **Câu 6:** Chọn **C** *Giải thích:* $y' = (\sin x)' + (\cos 2x)' + (\tan \frac{\pi}{7})' = \cos x - 2\sin 2x$. (Do $\tan \frac{\pi}{7}$ là hằng số nên đạo hàm bằng 0). **Câu 7:** Chọn **A** *Giải thích:* Tìm khẳng định SAI. $CD \parallel AB$, mà $AB \perp (SAD)$, do đó $CD \perp (SAD)$ chứ không hề vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$. **Câu 8:** Chọn **A** *Giải thích:* Diện tích đáy: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2}(2a)(2a) = 2a^2$. Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot 6a = 4a^3$. **Câu 9:** Chọn **D** *Giải thích:* (Tìm khẳng định SAI ở trang tiếp theo). Ta có hình chiếu vuông góc của B lên (SAD) là A. Vậy góc giữa SB và (SAD) là góc giữa SB và SA, tức là góc $\widehat{BSA}$. Khẳng định D nói góc là $\widehat{BSD}$ là sai. **Câu 10:** Chọn **D** *Giải thích:* Biến cố "A hoặc B xảy ra" là biến cố hợp (kí hiệu $A \cup B$), không phải biến cố giao. **Câu 11:** Chọn **C** *Giải thích:* Vì A và B độc lập nên $\overline{A}$ và B cũng độc lập. $P(\overline{A} B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = (1 - 0,7) \cdot 0,2 = 0,06$. **Câu 12:** Chọn **D** *Giải thích:* Hai biến cố độc lập nên $P(A) \cdot P(B) = P(AB) \Rightarrow 0,3 \cdot P(B) = 0,2 \Rightarrow P(B) = \frac{2}{3}$. Xác suất $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,3 + \frac{2}{3} - 0,2 = \frac{23}{30}$. --- ## PHẦN 2: Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1: Hàm số $f(x) = \log_5(-x^2 + 26x)$** * **a) Sai.** Tập xác định phải thỏa $-x^2 + 26x > 0 \Leftrightarrow x \in (0; 26)$. * **b) Đúng.** Theo công thức đạo hàm hàm lôgarit hợp: $f'(x) = \frac{(-x^2+26x)'}{(-x^2+26x)\ln 5} = \frac{-2x+26}{(-x^2+26x)\ln 5}$. * **c) Sai.** Bất phương trình $\log_5(-x^2+26x) < 2 \Leftrightarrow -x^2+26x < 25 \Leftrightarrow x^2 - 26x + 25 > 0 \Rightarrow x < 1 \text{ hoặc } x > 25$. Kết hợp ĐKXĐ $x \in (0;26)$ thì tập nghiệm là $(0;1) \cup (25;26)$. Tập này không chứa bất kỳ giá trị nguyên nào (chứ không phải 22). * **d) Đúng.** Phương trình $f(x) = -2 \Leftrightarrow -x^2 + 26x = 5^{-2} \Leftrightarrow x^2 - 26x + \frac{1}{25} = 0$. Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm là $S = \frac{-b}{a} = 26$. **Câu 2: Hàm số $y = f(x) = x^3 - x^2 + 3x - 3$** * **a) Đúng.** Giới hạn trong hình chính là biểu thức định nghĩa của đạo hàm tại điểm $x_0 = -3$. * **b) Đúng.** Ta có $f'(x) = 3x^2 - 2x + 3$. Tính $f'(4) = 43$ và $f'(-2) = 19$, nên $f'(4) > f'(-2)$. * **c) Sai.** $f''(x) = 6x - 2 \Rightarrow f''(-3) = 6(-3) - 2 = -20$. (Đề ghi -15). * **d) Sai.** Giao điểm với trục hoành (y=0) $\Rightarrow x^3 - x^2 + 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+3) = 0 \Leftrightarrow x=1$. Tại đây hệ số góc là $f'(1) = 4$. Phương trình tiếp tuyến là $y = 4(x-1) = 4x - 4$. **Câu 3: S.ABCD tứ giác đều cạnh bằng 3a** * **a) Đúng.** Vì là chóp tứ giác đều nên chân đường cao là tâm O của hình vuông đáy ($SO \perp (ABCD)$). Ta có $AC \perp BD$ và $AC \perp SO \Rightarrow AC \perp (SBD) \Rightarrow AC \perp SB$. * **b) Sai.** Mặt phẳng (SOC) chính là mặt phẳng (SAC). Ta có $CD$ không vuông góc với mặt phẳng này (bởi CD hợp với đường thẳng AC trong mặt phẳng đó một góc $45^\circ$). * **c) Đúng.** $\alpha$ là góc giữa SA và (ABCD) tức là $\widehat{SAO}$. Trong tam giác vuông SAO: $SA=3a$, $AO = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$. $\cos \alpha = \frac{AO}{SA} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. * **d) Sai.** Thể tích chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} (3a)^2 \cdot \frac{3a\sqrt{2}}{2} = \frac{9a^3\sqrt{2}}{2}$. Khối chóp S.BCD bằng một nửa, tức là $\frac{9a^3\sqrt{2}}{4}$ (Đề ghi $\frac{3a^3\sqrt{2}}{4}$). **Câu 4: Hộp chứa 15 thẻ. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ** * **a) Sai.** A là chia hết cho 3, B là chia hết cho 5. Tập hợp có thẻ số 15 là điểm chung ($A \cap B = \{15\} \neq \emptyset$), nên không xung khắc. * **b) Đúng.** Tập A có 5 phần tử $\Rightarrow P(A) = 5/15 = 1/3$. Tập B có 3 phần tử $\Rightarrow P(B) = 3/15 = 1/5$. * **c) Đúng.** Theo định nghĩa, chữ "hoặc" biểu thị cho biến cố hợp ($A \cup B$). * **d) Đúng.** $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} - \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$. --- ## PHẦN 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Đạo hàm cấp 1: $f'(x) = -2e^{-2x+5}$. Đạo hàm cấp 2: $f''(x) = 4e^{-2x+5}$. Tính $f''(1) = 4e^3 \Rightarrow a=4, b=3$. Vậy $a - 15b = 4 - 15(3) = -41$. **Đáp án: -41** **Câu 2:** $v(t) = s'(t) = -6t^2 + 75$. Gia tốc $a(t) = v'(t) = -12t$. Tại $t=3 \Rightarrow a(3) = -12(3) = -36$. **Đáp án: -36** **Câu 3:** Thay dữ kiện vào công thức $P = P_0 10^{-at}$: Ban đầu: $P_0 = 9000$. Sau 2 giờ: $6000 = 9000 \cdot 10^{-2a} \Rightarrow 10^{-2a} = \frac{2}{3}$. Khi vi khuẩn còn 1000: $1000 = 9000 \cdot 10^{-at} \Rightarrow 10^{-at} = \frac{1}{9}$. Ta có $10^{-at} = (10^{-2a})^{t/2} \Rightarrow (\frac{2}{3})^{t/2} = \frac{1}{9}$. Giải phương trình ta lấy logarit hai vế: $\frac{t}{2} \ln(2/3) = \ln(1/9) \Rightarrow t = 2 \frac{\ln(1/9)}{\ln(2/3)} \approx 10,838$. Làm tròn đến hàng phần mười là $10,8$. **Đáp án: 10,8** **Câu 4:** Hộp A có 8 bi (3 đỏ, 5 xanh). Hộp B có 12 bi (4 đỏ, 3 vàng, 5 xanh). Rút 2 bi từ mỗi hộp (tổng không gian mẫu là $C^2_8 \cdot C^2_{12} = 28 \cdot 66 = 1848$). Để 4 bi cùng màu, ta chỉ có 2 trường hợp: - Cùng màu đỏ: $C^2_3 \cdot C^2_4 = 3 \cdot 6 = 18$ cách. - Cùng màu xanh: $C^2_5 \cdot C^2_5 = 10 \cdot 10 = 100$ cách. Xác suất $P = \frac{118}{1848} = \frac{59}{924}$. $a=59, b=924 \Rightarrow a+b = 983$. **Đáp án: 983** **Câu 5:** Lăng trụ đứng có chiều cao bằng cạnh bên ($CC' = a\sqrt{6}$). Góc giữa đường chéo AC' và đáy (ABC) là $\widehat{C'CA}$. Đáy ABC vuông tại A, theo Pytago ta tính được $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = a\sqrt{3}$. $\tan(\widehat{C'CA}) = \frac{CC'}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{3}} = \sqrt{2} \Rightarrow \widehat{C'CA} \approx 54,7^\circ$. **Đáp án: 54,7** **Câu 6:** Bằng cách gắn trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $AD$ thuộc $Ox \Rightarrow D(\sqrt{2}; 0; 0)$, $AB$ thuộc $Oy \Rightarrow B(0; 2; 0)$ và $SA$ thuộc $Oz \Rightarrow S(0; 0; 2\sqrt{6})$. Điểm $C(\sqrt{2}; 1; 0)$ và $M$ là trung điểm CD $\Rightarrow M(\sqrt{2}; 0.5; 0)$. Lập phương trình mặt phẳng đi qua S, B, M ta được $\vec{n}_{(SBM)} = (3\sqrt{6}; 4\sqrt{3}; 2\sqrt{2})$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $A$ xuống mặt phẳng này là: $d = \frac{|-8\sqrt{3}|}{\sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{110}} \approx 1,32$. **Đáp án: 1,32** --- # ĐỀ SỐ 5 ## PHẦN 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1:** Chọn **A** *Giải thích:* Theo tính chất của lôgarit, với $x, y > 0$: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$. **Câu 2:** Chọn **C** *Giải thích:* - Điều kiện: $2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > -2$. - Bất phương trình: $\log_2(2x + 4) \ge 0 \Leftrightarrow 2x + 4 \ge 2^0 \Leftrightarrow 2x \ge -3 \Leftrightarrow x \ge -\frac{3}{2}$. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $\left[-\frac{3}{2}; +\infty\right)$. **Câu 3:** Chọn **A** *Giải thích:* Đề yêu cầu tìm mệnh đề **sai**. Hàm số $y = \log_2 x$ có cơ số $2 > 1$ nên đồng biến trên tập xác định. Tuy nhiên, tập xác định của nó là $(0; +\infty)$, không phải là $\mathbb{R}$. Do đó phát biểu "đồng biến trên $\mathbb{R}$" là sai. **Câu 4:** Chọn **A** *Giải thích:* Áp dụng công thức đạo hàm hàm phân thức $\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$: $y' = \frac{1(-1) - 1(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{-3}{(2x - 1)^2}$. **Câu 5:** Chọn **C** *Giải thích:* - A sai vì $(e^x)' = e^x$. - B sai vì $\left(\frac{1}{e^x}\right)' = (e^{-x})' = -e^{-x}$. - C đúng vì $(\sin x)' = \cos x$. **Câu 6:** Chọn **C** *Giải thích:* - $y' = (\frac{1}{2}x^2)' e^x + \frac{1}{2}x^2(e^x)' = x e^x + \frac{1}{2}x^2 e^x$. - $y'' = (x e^x + \frac{1}{2}x^2 e^x)' = e^x(1+x) + e^x(x + \frac{1}{2}x^2) = e^x(1 + 2x + \frac{1}{2}x^2)$. - Kiểm tra đáp án C: $y'' - y' = e^x(1 + 2x + \frac{1}{2}x^2) - e^x(x + \frac{1}{2}x^2) = e^x(x + 1)$. Khẳng định C đúng. **Câu 7:** Chọn **A** *Giải thích:* Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$. Trong tam giác vuông $\Delta SAB$: $AB = \sqrt{SB^2 - SA^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a$. $\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$. **Câu 8:** Chọn **D** *Giải thích:* Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đường cao là $SO$ ($O$ là tâm hình vuông đáy). Đường chéo $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Khoảng cách từ S đến $(ABCD)$ là $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{9a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{34}}{2}$. **Câu 9:** Chọn **D** *Giải thích:* Thể tích khối chóp cụt: $V = \frac{1}{3}h\left(S + S' + \sqrt{S \cdot S'}\right) = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (4 + 16 + \sqrt{4 \cdot 16}) = 2(20 + 8) = 56$. **Câu 10:** Chọn **A** *Giải thích:* A ("Hai quả cầu màu xanh") và B ("Hai quả cầu màu trắng") là hai biến cố xung khắc. Biến cố hợp $A \cup B$ có nghĩa là biến cố A xảy ra HOẶC biến cố B xảy ra, tức là lấy được hai quả cầu cùng màu. **Câu 11:** Chọn **D** *Giải thích:* Hai biến cố độc lập nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$. $\Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{2}{5} + P(B) - \frac{2}{5}P(B) \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{3}{5}P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}$. **Câu 12:** Chọn **D** *Giải thích:* Biến cố "Có đúng một xạ thủ trúng bia" xảy ra khi (Xạ thủ 1 trúng VÀ Xạ thủ 2 trượt) HOẶC (Xạ thủ 1 trượt VÀ Xạ thủ 2 trúng). Kí hiệu là $X_1\overline{X}_2 \cup \overline{X}_1X_2$. --- ## PHẦN 2: Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1: Hàm số $f(x) = \ln x - \ln(x+1)$** *(Lưu ý: Dựa vào nét bút đỏ học sinh sửa lại đề bài)* * **a) Sai.** Hàm số có nghĩa khi $x > 0$ và $x+1 > 0 \Rightarrow x > 0$. Tập xác định là $(0; +\infty)$, không phải $(-1; +\infty)$. * **b) Đúng.** $f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$. * **c) Sai.** $f(x) = \ln 2 \Leftrightarrow \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) = \ln 2 \Leftrightarrow \frac{x}{x+1} = 2 \Leftrightarrow x = 2x+2 \Leftrightarrow x = -2$. Giá trị $-2$ không thuộc TXĐ nên phương trình vô nghiệm. * **d) Sai.** Tổng $P = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2026)$. Vì $f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$, tính tổng triệt tiêu (telescoping sum): $P = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + ... + \left(\frac{1}{2026} - \frac{1}{2027}\right) = 1 - \frac{1}{2027} = \frac{2026}{2027}$. Kết quả trên đề ghi $\frac{2025}{2026}$ là sai. **Câu 2: Bài toán lưu lượng nước Torricelli $V = 5000\left(1 - \frac{t}{40}\right)^2$** Tốc độ chảy nước (lưu lượng chảy ra) là độ lớn của đạo hàm: $Q(t) = -V'(t) = 250\left(1 - \frac{t}{40}\right)$. * **a) Đúng.** Sau 30 phút, lượng nước còn lại là $V(30) = 5000\left(1 - \frac{30}{40}\right)^2 = 312,5$ lít (hơn 300 lít). * **b) Đúng.** Lưu lượng nước sau 5 phút: $Q(5) = 250\left(1 - \frac{5}{40}\right) = 218,75$ lít/phút. * **c) Sai.** Lưu lượng nước lúc 10 phút là $Q(10) = 250\left(1 - \frac{10}{40}\right) = 187,5$ lít/phút. Lưu lượng là một đại lượng dương, phát biểu ghi số âm $(-187,5)$ là sai quy ước về lưu lượng. * **d) Sai.** Khi chảy hết $\frac{3}{4}$ bể (còn lại $1250$ lít) $\Rightarrow \left(1 - \frac{t}{40}\right)^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 20$. Tại $t=20$, $Q(20) = 250(1 - 0.5) = 125$ lít/phút (Phát biểu ghi số âm). **Câu 3: Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương đầu tiên (1 đến 30)** A: "Số < 11" $\Rightarrow A = \{1, 2, ..., 10\}$. B: "Số > 25" $\Rightarrow B = \{26, ..., 30\}$. * **a) Đúng.** $P(A) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$. * **b) Đúng.** $P(B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$. * **c) Đúng.** Hai tập hợp A và B không có phần tử chung nên chúng xung khắc. * **d) Sai.** $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ (Đề ghi $\frac{8}{15}$ là sai). **Câu 4: Lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$** * **a) Đúng.** Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng, chiều cao chính là cạnh bên $= 2$. * **b) Đúng.** $V = S_{\text{đáy}} \cdot h = \left(\frac{4^2\sqrt{3}}{4}\right) \cdot 2 = 8\sqrt{3}$. * **c) Đúng.** Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $AM \perp BC$. Đoạn $AM$ chính là khoảng cách giữa $AA'$ và $BC$. $AM = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. * **d) Sai.** Góc giữa $A'C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A'CA}$. Ta có $\tan(\widehat{A'CA}) = \frac{AA'}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Góc này xấp xỉ $26,5^\circ \neq 60^\circ$. --- ## PHẦN 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Đạo hàm của tích: $g'(x) = -3[f(x) + x f'(x)]$. Thay $x = 1$: $g'(1) = -3[f(1) + 1 \cdot f'(1)] = -3[-1 + (-1)] = -3(-2) = 6$. **Đáp án: 6** **Câu 2:** Phương trình vận tốc: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 36t + 1$. Vận tốc là một hàm bậc 2 quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{2(-3)} = 6$ giây. Vận tốc lớn nhất: $v(6) = -3(6^2) + 36(6) + 1 = 109$ (m/s). **Đáp án: 109** **Câu 3:** Theo công thức dư nợ cuối kỳ $S_n = A(1+r)^n - X\frac{(1+r)^n - 1}{r}$. Để An rút hết tiền thì dư nợ $S_n = 0 \Rightarrow A(1+r)^n = X\frac{(1+r)^n - 1}{r}$. Thay số: $A=500, X=10, r=0.0042$. $500(1.0042)^n = 10\frac{(1.0042)^n - 1}{0.0042} \Rightarrow 2.1(1.0042)^n = 10(1.0042)^n - 10$. $7.9(1.0042)^n = 10 \Rightarrow 1.0042^n = \frac{10}{7.9} \Rightarrow n = \log_{1.0042}\left(\frac{10}{7.9}\right) \approx 56.34$. Tức là phải ở tháng thứ 57 mới rút triệt để hết phần tiền (số dư cuối) trong tài khoản. **Đáp án: 57** **Câu 4:** Xác suất biến cố hợp (cận thị HOẶC thuận tay trái): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 0.2 + 0.35 - (0.2 \cdot 0.35) = 0.55 - 0.07 = 0.48$. **Đáp án: 0,48** **Câu 5:** Kẻ $DH \perp AC$ thì $DH \perp (SAC)$. Hình chiếu của $SD$ lên $(SAC)$ là $SH$. Góc cần tính là $\widehat{DSH}$. Vì $\widehat{DAB} = 120^\circ \Rightarrow \widehat{ADC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ADC$ đều cạnh $8a \Rightarrow AC = AD = 8a$. Đường cao $DH = \frac{8a\sqrt{3}}{2} = 4a\sqrt{3}$. $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{36a^2 + 64a^2} = 10a$. $\sin(\widehat{DSH}) = \frac{DH}{SD} = \frac{4a\sqrt{3}}{10a} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$. $\Rightarrow \cos(\widehat{DSH}) = \sqrt{1 - \sin^2} = \sqrt{1 - \frac{12}{25}} = \frac{\sqrt{13}}{5} \approx 0.72$. **Đáp án: 0,72** **Câu 6:** Từ giả thiết các cạnh bên bằng nhau $\Rightarrow SO \perp (ABCD)$ với $O$ là giao hai đường chéo. Gọi $I$ là trung điểm $AD$, góc giữa mặt $(SAD)$ và đáy là $\widehat{SIO} = 30^\circ$. Tính $OI = \frac{AB}{2} = 8a \Rightarrow SO = OI \cdot \tan 30^\circ = \frac{8a}{\sqrt{3}}$. Do $M$ là trung điểm $SA$, $d(M, (SBC)) = \frac{1}{2} d(A, (SBC))$. Mà $O$ là trung điểm của đường trung bình đáy $\Rightarrow d(A, (SBC)) = 2 d(O, (SBC))$. Suy ra $d(M, (SBC)) = d(O, (SBC))$. Kẻ $OK \perp BC$ ($K$ là trung điểm $BC$), $OK = 8a$. Hạ $OP \perp SK$, ta có $OP$ là khoảng cách cần tìm. $\frac{1}{OP^2} = \frac{1}{SO^2} + \frac{1}{OK^2} = \frac{3}{64a^2} + \frac{1}{64a^2} = \frac{4}{64a^2} = \frac{1}{16a^2} \Rightarrow OP = 4a$. Vậy $m = 4$. **Đáp án: 4** --- # ĐỀ SỐ 6 ## PHẦN 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn **Câu 1:** Chọn **B** *Giải thích:* Điều kiện xác định của lôgarit là biểu thức bên trong phải lớn hơn 0: $1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1$. **Câu 2:** Chọn **C** *Giải thích:* Đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành ($y > 0$) và đi qua điểm $(0;1)$ là tính chất đặc trưng của hàm số mũ $y = a^x$. Chỉ có $y = 3^x$ thỏa mãn. **Câu 3:** Chọn **A** *Giải thích:* $3^{2x-1} > 27 \Leftrightarrow 2x-1 > 3 \Leftrightarrow 2x > 4 \Leftrightarrow x > 2$. Khoảng $(2; +\infty)$. **Câu 4:** Chọn **B** *Giải thích:* Định nghĩa đạo hàm tại $x_0 = 1$ là $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$. Với $f(x) = x^2+1 \Rightarrow f(1) = 2$. Giới hạn là $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1 - 2}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$. **Câu 5:** Chọn **A** *Giải thích:* Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản: $y' = 4x^3 - 2$. **Câu 6:** Chọn **B** *Giải thích:* Đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$. **Câu 7:** Chọn **C** *Giải thích:* Theo tính chất, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. **Câu 8:** Chọn **A** *Giải thích:* Thể tích khối lăng trụ $V = B \cdot h = 4 \cdot 3 = 12$. **Câu 9:** Chọn **B** *Giải thích:* Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của đoạn $SC$ lên mặt đáy là $AC$. Do đó, góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}$. **Câu 10:** Chọn **A** *Giải thích:* Hai biến cố độc lập thì xác suất của biến cố giao bằng tích các xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. **Câu 11:** Chọn **C** *Giải thích:* Do sự kiện độc lập, xác suất để cả hai viên đều trúng bằng $0,8 \cdot 0,7 = 0,56$. **Câu 12:** Chọn **C** *Giải thích:* Biến cố "Có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra" (tức A xảy ra HOẶC B xảy ra) là biến cố hợp $A \cup B$. --- ## PHẦN 2: Câu trắc nghiệm đúng sai **Câu 1: Hàm số $f(x) = \log_3(x^2 - 8x)$** * **a) Đúng.** Điều kiện: $x^2 - 8x > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$. * **b) Đúng.** $f'(x) = \frac{(x^2 - 8x)'}{(x^2 - 8x)\ln 3} = \frac{2x - 8}{(x^2 - 8x)\ln 3}$. * **c) Đúng.** $f(x) = 2 \Leftrightarrow x^2 - 8x = 3^2 \Leftrightarrow x^2 - 8x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 9$. * **d) Sai.** Bất phương trình $f(x) \le f(9) \Leftrightarrow x^2 - 8x \le 9 \Leftrightarrow -1 \le x \le 9$. Giao với tập xác định ta được $x \in [-1; 0) \cup (8; 9]$. Kí hiệu đoạn $[8;9]$ theo đề bài là sai vì tại $x=8$ hàm số không xác định và thiếu tập nghiệm âm. **Câu 2: Hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$** * **a) Đúng.** Đạo hàm cấp 1: $y' = 3x^2 - 6x$. * **b) Đúng.** Thay $x = 1 \Rightarrow y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3$. * **c) Đúng.** Đạo hàm cấp 2: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$. * **d) Đúng.** Hoành độ $x=0 \Rightarrow y=2$. Hệ số góc tiếp tuyến là $y'(0) = 0$. Phương trình tiếp tuyến là $y = 0(x - 0) + 2 \Leftrightarrow y = 2$. **Câu 3: Hộp có 5 bi xanh và 7 bi đỏ. Rút ngẫu nhiên 2 viên.** * **a) Đúng.** Không gian mẫu $n(\Omega) = C^2_{12} = 66$. * **b) Sai.** Lấy 2 viên màu xanh có $C^2_5 = 10$ cách. Xác suất là $\frac{10}{66}$ (Phát biểu ghi $\frac{31}{66}$ là sai). * **c) Đúng.** Lấy 1 viên xanh và 1 viên đỏ có $C^1_5 \cdot C^1_7 = 35$ cách. Xác suất là $\frac{35}{66}$. * **d) Đúng.** "Lấy được 2 viên xanh" và "Lấy được 2 viên đỏ" là 2 biến cố không thể xảy ra đồng thời, do đó chúng xung khắc. **Câu 4: Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông tâm O, $SA \perp (ABCD)$.** * **a) Đúng.** Có $BD \perp AC$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)$. * **b) Đúng.** Ta có $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB$. Do đó tam giác SBC vuông tại B. * **c) Đúng.** Giao tuyến của $(SBD)$ và mặt đáy là $BD$. Ta đã có $BD \perp (SAC)$ nên $BD \perp SO$ và $BD \perp AO$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng chính là góc $\widehat{SOA}$. * **d) Sai.** Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}$. (Phát biểu ghi $a^3$ là sai). --- ## PHẦN 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn **Câu 1:** Đạo hàm của $f(x) = \cos(2x)$ là $f'(x) = -2\sin(2x)$. Tại $x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \approx -1,732$. **Đáp án: -1,73** **Câu 2:** Phương trình vận tốc $v(t) = s'(t) = 9.8t$. Tại $t=3 \Rightarrow v(3) = 9.8 \cdot 3 = 29,4$ (m/s). **Đáp án: 29,4** **Câu 3:** Công thức lãi kép $T_n = A(1+r)^n$. Thay số: $100(1 + 0.07)^n \ge 150 \Leftrightarrow 1.07^n \ge 1.5 \Rightarrow n \ge \log_{1.07}(1.5) \approx 5,99$. Vì n tính theo năm tròn kỳ hạn nên cần ít nhất 6 năm để vượt mức 150 triệu. **Đáp án: 6** **Câu 4:** Xác suất cả hai người cùng trượt là $P(\text{Trượt}) = (1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$. Xác suất để bia bị trúng đạn (có ít nhất 1 người bắn trúng) là phần bù: $P = 1 - 0,06 = 0,94$. **Đáp án: 0,94** **Câu 5:** Lăng trụ đứng nên $AA' \perp (ABC)$. Hình chiếu của đường thẳng $A'B$ xuống mặt đáy chính là $AB$. Góc cần tìm là $\widehat{A'BA}$. Xét tam giác vuông $A'AB$: $\tan(\widehat{A'BA}) = \frac{AA'}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$. Suy ra góc $\widehat{A'BA} \approx 54,7^\circ$. **Đáp án: 54,7** **Câu 6:** Trong tam giác vuông $SAB$ ($SA \perp AB$), để tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng SB, ta hạ đường cao $AH$ từ A xuống SB. Áp dụng hệ thức lượng: $AH = \frac{SA \cdot AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5} = 2,4$. **Đáp án: 2,4**

Đáp án Tài liệu Ôn tập Toán HK2

Đáp án Tài liệu Ôn tập Toán HK2